SymPyの使い方#
SymPyとは？#
SymPyはPythonの代数計算ライブラリです。
拡張しやすいように保ちコードのシンプルに保ちつつ、MathematicaやMapleのようなシステムの代替となることを目指しています。
SymPyはすべてPythonで書かれていて外部ライブラリを必要としないことも特徴のひとつです。
「習うより慣れろ」の精神で、徒然なるままに用法を書き下していきます。
SymPyライブラリの読み込み#
SymPyは簡単に使えます。
もし環境に入っていない場合は適当にpipとかしてください。
import sympy
sympy.init_printing(use_unicode=False, wrap_line=True)
四則演算#
加算#
\[
3+2
\]
3 + 2
減算#
\[
3-2
\]
3 - 2
乗算#
\[
3\times2
\]
3 * 2
除算#
\[
3\div 2
\]
3 / 2
分数#
\[
3\div 2
\]
を分数表記。
sympy.Rational(3, 2)
分母#
\[
\frac{3}{2}
\]
の分母。
sympy.denom(sympy.Rational(3, 2))
分子#
\[
\frac{3}{2}
\]
の分子。
sympy.numer(sympy.Rational(3, 2))
冪乗階乗#
冪乗#
\[
3^2
\]
3**2
階乗#
\[
50!
\]
sympy.factorial(50)
二重階乗#
二重階乗とは自然数\(n\)に対し一つ飛ばしに積を取る階乗のこと。
階乗の二回反復合成\((n!)!\)とは異なることに注意。
\[
50!!
\]
sympy.factorial2(50)
平方根#
\[
\sqrt{50}
\]
sympy.sqrt(50)
特殊定数#
円周率#
\[
\pi
\]
sympy.pi
ネイピア数#
\[
e
\]
sympy.E
無限大#
\[
\infty
\]
sympy.oo
複素数#
虚数単位#
\[
i
\]
sympy.I
複素共役#
\[
\overline{2+3i}
\]
sympy.conjugate(2 + 3 * sympy.I)
実部#
\[
\mathrm{Re}(2+3i)
\]
sympy.re(2 + sympy.I * 3)
虚部#
\[
\mathrm{Im}(2+3i)
\]
sympy.im(2 + sympy.I * 3)
絶対値#
\[
|2+3i|
\]
sympy.Abs(2 + sympy.I * 3)
偏角#
\[
\mathrm{Arg}(2+3i)
\]
sympy.arg(2 + sympy.I * 3)
変数#
変数宣言#
x = sympy.Symbol("x")
y = sympy.Symbol("y")
z = sympy.Symbol("z")
a = sympy.Symbol("a")
b = sympy.Symbol("b")
c = sympy.Symbol("c")
算術演算#
\[
x+y+x-y
\]
x + y + x - y
\[
(x+y)^2
\]
(x + y) ** 2
代数操作#
素因数分解#
\[
10!=2^83^45^27^1
\]
sympy.factorint(sympy.factorial(10))
因数分解#
\[
x^2-4x+3=(x-3)(x-1)
\]
sympy.factor(x**2 - 4 * x + 3)
整数係数上既約の因数分解。
\[
(1+x-x^2)(1-x-x^2)=(x^2-x-1)(x^2+x-1)
\]
sympy.factor((1 + x - x**2) * (1 - x - x**2))
円分多項式上(mod 5で)既約の因数分解。
\[
(1+x-x^2)(1-x-x^2)=(x-2)^2(x+2)^2\:\:\:\mathrm{mod}\:5
\]
sympy.factor((1 + x - x**2) * (1 - x - x**2), modulus=5)
簡単化#
\[
\frac{x+xy}{x}=y+1
\]
sympy.simplify((x + x * y) / x)
\[
\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)
\]
sympy.trigsimp(sympy.sin(x) / sympy.cos(x))
\[
\sin^2(x)+\cos^2(x)=1
\]
sympy.trigsimp((sympy.sin(a)) ** 2 + (sympy.cos(a)) ** 2)
\[
\sinh^2(a)+\cosh^2(a)=\cosh(2a)
\]
sympy.trigsimp((sympy.sinh(a)) ** 2 + (sympy.cosh(a)) ** 2)
部分分数分解#
\[
\frac{1}{x^2-4x+3}=-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x-3)}
\]
sympy.apart(1 / (x**2 - 4 * x + 3))
\[
\frac{1}{x^6-1}=\frac{x - 2}{6 \left(x^{2} - x + 1\right)} - \frac{x + 2}{6 \left(x^{2} + x + 1\right)} - \frac{1}{6 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{6 \left(x - 1\right)}
\]
sympy.apart(1 / (x**6 - 1))
展開#
\[
(x+y)^6=x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6}
\]
sympy.expand((x + y) ** 6)
\[
\tan(a+b)=\frac{\tan{\left(a \right)}}{- \tan{\left(a \right)} \tan{\left(b \right)} + 1} + \frac{\tan{\left(b \right)}}{- \tan{\left(a \right)} \tan{\left(b \right)} + 1}
\]
sympy.expand(sympy.tan(a + b), trig=True)
通分#
\[
\frac{2x-2}{(x-1)^2(x-2)}=\frac{2}{(x-2)(x-1)}
\]
sympy.simplify((2 * x - 2) / ((x - 1) ** 2 * (x - 2)))
\[
\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-3}{(x-2)(x-1)^2}
\]
sympy.simplify(1 / (x - 1) ** 2 + 1 / ((x - 1) * (x - 2)))
通分展開#
\[
\frac{2x-2}{(x-1)^2(x-2)}=\frac{2}{x^2-3x+2}
\]
sympy.cancel((2 * x - 2) / ((x - 1) ** 2 * (x - 2)))
\[
\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-3}{x^3-4x^2+5x-2}
\]
sympy.cancel(1 / (x - 1) ** 2 + 1 / ((x - 1) * (x - 2)))
係数#
\[
(x+y)^6
\]
について\(x^3\)の係数。
sympy.expand((x + y) ** 6).coeff(x, 3)
代入#
\[
\left. ax^2+bx+c\:\right|_{x=3}
\]
(a * x**2 + b * x + c).subs(x, 3)
\[
ax^2+bx+c\:\left|_{x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\right.
\]
sympy.expand(
(a * x**2 + b * x + c).subs(x, (-b + sympy.sqrt(-4 * a * c + b**2)) / (2 * a))
)
総和#
\[
\sum_{x=1}^{10} x
\]
sympy.summation(x, (x, 1, 10))
\[
\sum_{x=1}^a x
\]
sympy.factor(sympy.summation(x, (x, 1, a)))
\[
\sum_{x=1}^a x^3
\]
sympy.factor(sympy.summation(x**3, (x, 1, a)))
総乗#
\[
\prod_{x=1}^{10}x
\]
sympy.product(x, (x, 1, 10))
命題論理#
真偽判定#
\[
0=\sqrt{2}-2^{\frac{1}{2}}\:\:\:?
\]
0 == sympy.sqrt(2) - 2 ** (sympy.Rational(1, 2))
True
\[
0=\sqrt{2}-2^{\frac{1}{3}}\:\:\:?
\]
0 == sympy.sqrt(2) - 2 ** (sympy.Rational(1, 3))
False
\[
10!=\prod_{x=1}^{10}x\:\:\:?
\]
sympy.factorial(10) == sympy.product(x, (x, 1, 10))
True
\[
50!=50\times49!\:\:\:?
\]
sympy.factorial(50) == sympy.factorial2(50) * sympy.factorial2(49)
True
ただし数式を適当に処理しないとうまく判定しない場合も多いので注意。
こちらは失敗している例。
\[
x^2-2x+1=(x-1)^2\:\:\:?
\]
x**2 - 2 * x + 1 == (x - 1) ** 2
False
例えば明示的に展開操作をすることで正しく真偽判定ができる。
\[
x^2-2x+1=(x-1)^2\:\:\:?
\]
x**2 - 2 * x + 1 == sympy.expand((x - 1) ** 2)
True
論理式#
\[
x\land y=\mathrm{True}\:\:\:?
\]
sympy.satisfiable(x & y)
{x: True, y: True}
\[
x\land \lnot x =\mathrm{True}\:\:\:?
\]
sympy.satisfiable(x & ~x)
False
解析操作#
関数定義#
\[
f(x)=\frac{\log(x+1)}{x}
\]
def f(x):
return sympy.log(1 + x) / x
f(x)
極限#
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1
\]
sympy.limit(sympy.sin(x) / x, x, 0)
\[
\lim_{x\to\infty}x=\infty
\]
sympy.limit(x, x, sympy.oo)
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0
\]
sympy.limit(1 / x, x, sympy.oo)
\[
\lim_{x\to0}x^x=1
\]
sympy.limit(x**x, x, 0)
微分#
\[
\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^3=3(x+y)^2
\]
sympy.diff((x + y) ** 3, x)
\[
\frac{\partial^2}{\partial y^2}(x+y)^3=6(x+y)
\]
sympy.diff((x + y) ** 3, y, 2)
\[
\frac{d}{d x}\tan(x)=\tan^2(x)+1
\]
sympy.diff(sympy.tan(x), x)
\[
\lim_{y\to0}\frac{\tan(x+y)-\tan(x)}{y}=\tan^2(x)+1
\]
sympy.limit((sympy.tan(x + y) - sympy.tan(x)) / y, y, 0)
\[
\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\frac{\log(x+1)}{x}=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{\log(x+1)}{x^2}
\]
sympy.diff(f(x), x, 1)
級数展開#
\[
\cos(x)=1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O\left(x^{6}\right)
\]
sympy.series(sympy.cos(x), x)
\[
\frac{1}{\cos(x)}=1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{4}}{24} + O\left(x^{6}\right)
\]
sympy.series(1 / sympy.cos(x), x)
先ほどの\(f(x)\)を\(x=0\)の周りで7次未満の項まで展開してみる。
\[
f(x)=\frac{\log(x+1)}{x}=1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{4}}{5} - \frac{x^{5}}{6} + \frac{x^{6}}{7} + O\left(x^{7}\right)
\]
sympy.series(f(x), x, 0, 7)
積分#
\[
\int(x+y)dx=\frac{x^2}{2}+xy
\]
sympy.integrate(x + y, x)
\[
\int(2x+\sinh(x))dx=x^2+\cosh(x)
\]
sympy.integrate(2 * x + sympy.sinh(x), x)
\[
\int_0^6(x+y)^3dx=6y^3+54y^2+216y+324
\]
sympy.integrate((x + y) ** 3, (x, 0, 6))
\[
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}
\]
sympy.integrate(sympy.exp(-(x**2)), (x, -sympy.oo, sympy.oo))
\[
\int e^{-x^2}\mathrm{erf}(x)dx=\frac{\sqrt{x}\mathrm{erf}^2(x)}{4}
\]
（ただし\(\mathrm{erf}\)は誤差関数。）
sympy.integrate(sympy.exp(-(x**2)) * sympy.erf(x), x)
\[
\int f(x)dx=\int\frac{\log(x+1)}{x}dx=-\mathrm{Li}_2(xe^{i\pi})
\]
（ただし\(\mathrm{Li}_s\)は多重対数関数。）
sympy.integrate(f(x), x)
代数方程式#
求解#
\[
x^4-1=0
\]
を\(x\)について解く。
sympy.solve(x**4 - 1, x)
\[\begin{split}
\left\{
\begin{array}{l}
x+5y-2=0\\
-3x+6y-15=0
\end{array}
\right.
\end{split}\]
を連立させて\((x,y)\)について解く。
sympy.solve([x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15], [x, y])
\[
e^x+1=0
\]
を\(x\)について解く。
sympy.solve(sympy.exp(x) + 1, x)
\[
ax^2+bx+c=0
\]
を\(x\)について解く。
sympy.solve(a * x**2 + b * x + c, x)
等式#
\[
x+1=\frac{x+1}{(x^2+x-2)}
\]
を\(x\)について解く。
ここでsympy.Eqは第1引数=第2引数の方程式を返す。
equation = sympy.Eq(x + 1, (x + 1) / (x**2 + x - 2))
sympy.solve(equation, x)
\[
x+1=\frac{x+1}{(x^2+x-2)}
\]
の右辺。
equation.rhs
\[
x+1=\frac{x+1}{(x^2+x-2)}
\]
の左辺。
equation.lhs
線形代数#
行列#
\[\begin{split}
\left[
\begin{array}{cc}
1&x\\
y&1
\end{array}
\right]
\end{split}\]
sympy.Matrix([[1, x], [y, 1]])
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & x\\y & 1\end{matrix}\right]\end{split}\]
\[\begin{split}
\left[
\begin{array}{cc}
1&x\\
y&1
\end{array}
\right]^2=\left[
\begin{array}{cc}
xy+1&2x\\
2y&xy+1
\end{array}
\right]
\end{split}\]
sympy.Matrix([[1, x], [y, 1]]) ** 2
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}x y + 1 & 2 x\\2 y & x y + 1\end{matrix}\right]\end{split}\]
基本操作#
\[\begin{split}
\left[
\begin{array}{c}
1&0&1&3\\
2&3&4&7\\
-1&-3&-3&-4
\end{array}
\right]
\end{split}\]
の（行）階段形。
sympy.Matrix([[1, 0, 1, 3], [2, 3, 4, 7], [-1, -3, -3, -4]]).rref()
\[\begin{split}\displaystyle \left( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 3\\0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \ \left( 0, \ 1\right)\right)\end{split}\]
零空間#
\[\begin{split}
\mathrm{Ker}\left(\left[
\begin{array}{c}
1&2&3&0&0\\
4&10&0&0&1
\end{array}
\right]\right)
\end{split}\]
sympy.Matrix([[1, 2, 3, 0, 0], [4, 10, 0, 0, 1]]).nullspace()
\[\begin{split}\displaystyle \left[ \left[\begin{matrix}-15\\6\\1\\0\\0\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}0\\0\\0\\1\\0\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}1\\- \frac{1}{2}\\0\\0\\1\end{matrix}\right]\right]\end{split}\]
列空間#
\[\begin{split}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&2\\
2&1&3\\
3&1&4
\end{array}
\right]
\end{split}\]
の列空間。
sympy.Matrix([[1, 1, 2], [2, 1, 3], [3, 1, 4]]).columnspace()
\[\begin{split}\displaystyle \left[ \left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right]\right]\end{split}\]
特性方程式#
\[\begin{split}
\left[
\begin{array}{c}
3&-2&4&-2\\
5&3&-3&-2\\
5&-2&2&-2\\
5&-2&-3&3
\end{array}
\right]
\end{split}\]
の特性方程式。
sympy.factor(
sympy.Matrix(
[[3, -2, 4, -2], [5, 3, -3, -2], [5, -2, 2, -2], [5, -2, -3, 3]]
).charpoly()
)
固有値固有ベクトル#
\[\begin{split}
\left[
\begin{array}{c}
3&-2&4&-2\\
5&3&-3&-2\\
5&-2&2&-2\\
5&-2&-3&3
\end{array}
\right]
\end{split}\]
の固有値。
sympy.Matrix(
[[3, -2, 4, -2], [5, 3, -3, -2], [5, -2, 2, -2], [5, -2, -3, 3]]
).eigenvects()
\[\begin{split}\displaystyle \left[ \left( -2, \ 1, \ \left[ \left[\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]\right]\right), \ \left( 3, \ 1, \ \left[ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\\1\end{matrix}\right]\right]\right), \ \left( 5, \ 2, \ \left[ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\\0\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}0\\-1\\0\\1\end{matrix}\right]\right]\right)\right]\end{split}\]
対角行列#
\[\begin{split}
\left[
\begin{array}{c}
3&-2&4&-2\\
5&3&-3&-2\\
5&-2&2&-2\\
5&-2&-3&3
\end{array}
\right]
\end{split}\]
の対角化。
P, D = sympy.Matrix(
[[3, -2, 4, -2], [5, 3, -3, -2], [5, -2, 2, -2], [5, -2, -3, 3]]
).diagonalize()
P, D
\[\begin{split}\displaystyle \left( \left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0\\0 & 3 & 0 & 0\\0 & 0 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]\right)\end{split}\]
P * D * P**-1
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right]\end{split}\]
微分方程式#
未知関数の定義#
\[
f(x)
\]
f = sympy.symbols("f", cls=sympy.Function)
f(x)
微分方程式の求解#
\[
\frac{d^2}{dx^2}f(x)+f(x)=0
\]
を満たす関数\(f(x)\)を求める。
sympy.dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
\[
x\frac{d}{dx}f(x)+f(x)-f^2(x)=0
\]
を満たす関数\(f(x)\)を求める。
sympy.dsolve(x * f(x).diff(x) + f(x) - f(x) ** 2)
\[
x\frac{d}{dx}f(x)+f(x)-f^2(x)=0
\]
を満たす関数\(f(x)\)を求める。
この際にベルヌーイ型微分方程式であることをヒントとして与えることができる。
sympy.dsolve(x * f(x).diff(x) + f(x) - f(x) ** 2, f(x), hint="Bernoulli")
Tex形式出力#
コンパイル#
equation = sympy.Eq(a * x**2 + b * x + c, 0)
solution = sympy.solve(equation, x)
sympy.init_printing()
solution
Tex出力#
print(sympy.latex(solution))
\left[ \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}, \ - \frac{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}\right]
小括#
PythonにおけるSymPyはStand Aloneであるにも関わらず、代数計算システムとして充実した機能を備えています。
まさにPythonの無限の可能性と、邪な開発意欲を感じさせるライブラリです。
【邪な例】
次の定積分を求めよ。
\[
\int_0^1\left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx
\]
東京大学 平成31年度 第２次学力試験 数学（理科）第１問より抜粋
sympy.integrate(
(x**2 + x / sympy.sqrt(1 + x**2)) * (1 + x / (1 + x**2) / sympy.sqrt(1 + x**2)),
(x, 0, 1),
)
PythonにはSymPyのような楽しいライブラリがたくさん眠っているので、自ら発掘してみるのもとても楽しいかもしれません。
※（筆者の）必要に応じて今後も加筆する予定です。
